Opao

Kan du räkna på opao? Det kunde inte jag, men nu har jag lärt mig. Det får jag tacka kommunens matteutvecklare Anna Dahlin för. Det var hon som tipsade mig om Lingolympiaden, vilket gav mig ett trevligt huvudbry vid fredagslunchen.

Lingolympiaden är en tävling som drivs av Svenska Lingolympiadföreningen i samarbete med Stockholms universitet och Unga Forskare Stockholm.

Här kommer uppgift 3 i Lingolympiadens upplaga 2023. Det gäller att klura ut hur man räknar på opao, ett papuanskt språk med ungefär 1000 talare.

Opao

Nedan ges ett antal matematiska likheter på opao. Alla tal i uppgiften är mindre än 20.

1. haroapo + haroapo = elahokaila

2. haroapo + elahokai elahokai = mai ikai

3. elahokaila × elahokai haroapo = mai ikai haroapo

4. elahokaila × mai ikai = mai ikai ikai

5. mai ikai haroapo + mai ikai elahokaila =

= mai ikai ikai mora lokoka elahokai haroapo

6. mai ikai ikai mora lokoka elahokai elahokai + elahokaila =

= mai ikai ikai mora ikai mora lokoka haroapo

a) Skriv likheterna 1–6 med siffror.

b) Skriv följande på opao: 7, 15, 18

c) Orden mai och mora representerar även två kroppsdelar. Vilka då?

—Åke Wettergren

En spoiler finns på Lingolympiadens hemsida, eftersom uppgifterna också har ett facit. Följ länken dit när du löst problemet, så kan du rätta, och också ta del av fler uppgifter.

Nedan en karta som visar språk på Nya Guinea.

 

5050

Friedrich Gauss, 1777 – 1855.

En lärare behöver lämna klassrummet en stund och ger eleverna en uppgift att bita i. ”Addera heltalen mellan 1 och 100 och visa mig när jag kommer tillbaka!” En av eleverna svarar på en gång och får en åthutning.

Vad hade hänt med matematiken om den eleven tappat sugen på kuppen? Han hette Friedrich Gauss och skulle utveckla algebrans fundamentalsats, delar av den komplexa analysen, den modulära aritmetiken och beräkningen av integraler för att nämna något. Han gjorde också grundläggande arbeten kring normalfördelningen, varför normalkurvan har fått benämningen Gausskurva.

För Gauss var skoluppgiften enkel huvudräkning fastän han bara var 9 år. Han tänkte så här:

100, 1 +99 = 100, 2 + 98 = 100 … 49 + 51 = 100, återstår 50

Alltså (50 x 100) + 50 = 5050

Det är för övrigt inte svårare att summera talen upp till en miljon, det blir bara en större summa. Med samma teknik för huvudräkning blir det 500 000 500 000. Och för en miljard blir summan 500 000 500 000 000.

Det här var på 1780-talet i Braunschweig i Tyskland och läraren hette J G Büttner. Han hade en klass med 100 elever i åldern 9 – 10 år och därför kanske rätt så kort stubin. Men sedan han besinnat sig förhörde han sig med lille Friedrich och häpnade över dennes räkneförmåga. Büttner skaffade lämpliga läroböcker åt Gauss och pratade med familjen om vikten av att Friedrich fick studera. Han kom på flera sätt att supporta Gauss och minska risken att denne skulle tappa sugen. Något att tänka på för var och en som stöter på sällsynta begåvningar i klassrummet. Där kan läraren spela en avgörande roll, om det är svårt i portgången.

Jag passar på att önska alla läsare en trevlig sommar – och avslutar med en formel.

Formeln för den huvudräkning som berättas om ovan tecknades ner av Gauss något år senare:

S = n/2[2a + (n − 1) × d]

S = 100/2[2 + (100 – 1) × 1]

S = 50 [2 + 99]

S = 5050

Oändligt många

Euklides cirka 280 f.Kr.

Det finns oändligt många primtal. Det är lätt att påstå, men det är också lätt att bevisa. Blir du nyfiken? Låt oss då bevisa det!

Till att börja med finns det oändligt många tal. Det är också lätt att bevisa, men det struntar vi i, för om vi kan bevisa att det finns oändligt många primtal behövs inget sånt bevis, eftersom alla tal inte är primtal och därför är betydligt fler än primtalen.

Ett primtal är ett naturligt tal, som är större än 1 och som inte har några andra positiva delare än 1 och talet självt. Därför finns det bara ett jämnt primtal, 2, alla andra är udda. Här är de första primtalen, upp till 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Det blir allt glesare mellan primtalen ju högre upp i talsystemet vi kommer …

Jaha, då är det upp till bevis:

Om vi utgår från att det finns en ändlig mängd primtal och skapar produkten av dessa får vi ett väldigt stort tal som är delbart med dem alla. Men lägg på ETT. Det nya talet går INTE att dela med någon av de faktorer som det stora talet vi skapade består av eftersom vi då får resten 1. Det innebär att detta nya tal också är ett primtal. Det motsäger att det skulle finns en ändlig mängd primtal. Därför är antalet primtal oändligt. Vilket skulle visa…

Fotnot: Det var Euklides som la fram ett liknande bevis, cirka 300 f.Kr. Det skedde i bokverket Elementa.

Julspecial, medförfattare: Adrian Nylander

Det riktigt stora Mersenneprimtalet nr 49, som räknades fram 2016 och är drygt 22 miljoner siffror långt. Sedan dess har två ännu längre primtal av denna typ räknats fram..

Kärlek och matematik

Ett möbius-band i 3D. Spara hem till datorn, så kan du vända och vrida på det!

Några ord om kärlek och matematik – och en rätt så aktuell bok. Också en liten laboration för dig som vill häpna, hos mathpuzzle.se.

Den bok som avses är den amerikanska professorn Edward Frenkels bok Love & Math. Han beskriver på ett fängslande sätt varför matematik av många uppfattas som svårt, medan litteratur, historia och språk anses lätt, eller i alla fall inte väcker ångest och obehag. När nu faktiskt också matematiken är ett språk – ett mycket vackert språk, som borde väcka förundran, fascination och sprudlande glädje.

Han börjar med att jämföra matematiken med konsten och konstaterar att ingen skulle drömma om att i bildundervisningen nöja sig med att lära eleverna måla staket och hemlighålla van Gogh, Picasso och Leonardo da Vinci. Det är något som han menar faktiskt sker inom matematiken, eftersom undervisningen där mestadels sysslar med sådant som människan upptäckte för hundratals eller till och med tusentals år sedan.

Love & Math, av Edward Frenkel, utgiven 2013.

Utifrån det här resonemanget presenterar han ett antal matematiska hemligheter som han anser alla borde få ta del av. Det vimlar av sådana hemligheter!

En av de ”hemligheter” som inte fick rum i boken är möbiusbandet. Det vill jag gärna tipsa om. Har du studerat ett sådant någon gång?!

Uppe till höger har du ett möbiusband som du kan vrida på.

Det är också enkelt att tillverka själv. Du klipper ett band, nej förresten! Klipp två!

Det första tejpar du ihop kant emot kant, och får en vanlig ring.

Det andra vrider du ett halvt varv innan du tejpar ihop bandet. Då får du ett möbiusband.

Den vanliga ringen har två kanter och två sidor. Möbiusringen har bara en kant och en sida. Testa genom att måla kanten med färgpenna. Testa genom att dra en linje mitt på bandet. Har du inte gjort det förut kommer du alldeles säkert att bli förvånad!

Här får du fler uppgifter om möbiusbandet, hos mathpuzzle.se.

Ett exempel på det budskap Frenkel vill ge lärare och elever: Matematik är en lättsam lek och ett spännande språk. Matematik är något som väcker förundran och kärlek. Det är förstås också ett djuphav, där ingen sett botten, men varför börja i den änden?
Ha litet skoj först, så är det inte omöjligt att du också vill ge dig ut på djupet!

Flerspråkighet – hinder eller förutsättning

Miljöbild från undervisningen i Singapore.

Hur mycket spelar egentligen modersmålet in vid inlärning och hur mycket är tvärtom en fråga om pedagogisk skicklighet i skolan!? Det kan man fråga sig när man tittar på den lilla önationen och stadsstaten Singapore som skolexempel inom matematik.

Det har i Singapore funnits en flerspråkighetspolicy i utbildningen sedan 1965 när ön blev självständig republik. Undervisningsspråket är engelska och studenterna är flerspråkiga. Det språk man instruerar på och som man gör bedömningar i är inte elevernas modersmål.

I Sverige har vi däremot ett nationellt språk som är undervisningsspråk. I samband med de nationella proven i Sverige finns en swedish-only-diskurs. Något liknande förekommer också i Australien där man har nationella test som inbegriper standards för vad som bör uppnås, inom områdena taluppfattning och literacy. I Australien utgår man från att alla har engelska som första språk, detta trots att Australien har en flerspråkig befolkning. Detsamma kan numera också sägas om de svenska eleverna där det 2015 var 25,5 procent av alla elever i grundskolan som hade ett annat modersmål än svenska. Det motsvarade 250 399 elever. Det är alltså väldigt många elever som berörs när vi talar i termer av ”flerspråkiga elever” eller ”elever med annat modersmål”, nämligen en fjärdedel av samtliga elever.

Det skulle alltså vara spännande att studera hur singaporianska pedagoger går tillväga i matematikundervisningen för att inte se flerspråkigheten som ett hinder utan som en naturlig förutsättning i klassrummet och i samhället.

Fanns man kanske inte ska gå över ån efter vatten. Singapore kastar avundsamma blickar på vårt grannland Finland. Finsk skola uppnår ju också goda resultat internationella sett, men utan att börja pluggandet så tidigt och utan att ha den mängd av extraundervisning på fritiden som Singapore har haft. Singapore satsar numera på att arbeta sig bort från rent pluggande och katederundervisning och att hitta mer samarbete mellan eleverna, se SvDs artikel Glöm pluggskolan – nu ska Singaporelärare ”flumma”.